Soal peluruhan radioaktif dan penyelesaiannya 3

Soal 1

Hitung aktivitas dari 2,0μg dari ₂₉Cu⁶⁴. Waktu paro ₂₉Cu⁶⁴ = 13 jam dan tetapan Avogadro = 6,0 x 10²³/mol.

Jawab;
Waktu paro T_1/2 = 13 jam = 13 x 3600 detik
Kita hitung dahulu tetapan peluruhan λ dengan
λ = 0,693/T_1/2 = 0,693/(13 x 3600 detik) = 1,48 x 10^-5/s
kemudian kita menghitung banyak molekul N dari 2,0μg = 2,0 x 10^-6 gram.
Dari lambang ₂₉Cu⁶⁴, kita dapat massa molekul relatif M_r = 64 g/mol. Jadi,
N = 2,0 x 10^-6 g[1/(64 g/mol)](6,0 x 10²³ molekul/mol)
N = 1,87 x 10¹⁶ molekul
Maka aktivitas A dari ₂₉Cu⁶⁴ adalah
A = λN
    = (1,48 x 10^-5/s)(1,87 x 10¹⁶ molekul)
A = 28 molekul/s = 28 Bq

Soal 2
Suatu sampel radioaktif cesium-137 memiliki aktivitas 1,5 x 10¹⁵ Bq dan digunakan untuk memberikan daya pada sebuah generator. Waktu paro cesium-137 adalah 30 tahun dan tiap peluruhan radioaktif memancarkan partikel β dengan energi rata-rata 0,5 MeV. (a) hitung daya keluaran maksimum mula-mula secara teoritis dalam watt dan (b) hitung daya keluaran setelah 10 tahun (1 eV = 1,6 x 10^-19 J)

Jawab;
(a) Faktor-faktor konversi yang diperlukan adalah
Tiap peluruhan = 0,5 MeV
Faktor konversi = 0,5 MeV/peluruhan
1 eV = 1,6 x 10^-19 J
1 MeV = 1,6 x 10^-13 J
Faktor konversi = 1,6 x 10^-13 J/MeV
Aktivitas radiasi
A = 1,5 x 10¹⁴ Bq = 1,5 x 10¹⁴ peluruhan/s
Jadi, daya keluaran maksimum mula-mula P₀ adalah
P₀ = 1,5 x 10¹⁴ peluruhan/s x (0,5 MeV/peluruhan) x (1,6 x 10^-13 J/MeV)
     = 12 watt
(b) Waktu paro T_1/2 = 30 tahun; selang waktu t = 10 tahun. Hitung n dengan persamaan
n = t/T_1/2 = 10 tahun/30 tahun = 1/3
Hitung aktivitas radioaktif setelah 10 tahun A(t) dengan persamaan
A(t) = (1/2)ⁿA₀ = (1/2)^1/2(1,5 x 10¹⁴ Bq)
A(t) = 1,2 x 10¹⁴ Bq
Perhatikan (a) kita peroleh,
1,5 x 10¹⁴ Bq = 12 watt sebagai faktor konversi
Dengan demikian, daya keluaran setelah 10 tahun P(t) adalah
P(t) = 1,2 x 10¹⁴ Bq[12 watt/1,5 x 10¹⁴ Bq]
P(t) = 9,6 watt

Soal 3
Dua sumber radioaktif A dan B mula-mula mengandung jumlah atom radioaktif yang sama. Sumber A memiliki waktu paro 1 jam, dan sumber B  waktu paro 2 jam. Berapakah nilai perbandingan laju peluruhan sumber A terhadap sumber B; (a) mula-mula?; (b) setelah 4 jam.

Jawab;
Mula-mula jumlah radioaktif A dan B sama, N_A = N_B, waktu paro T_A = 1 jam, T_B = 2 jam,
λ = 0,693/T_1/2 dan
A(t) = λN(t) = [0,693/T_1/2]N(t), dengan demikian
A(t) ~ N(t)/T_1/2
(a) Mula-mula, t = 0, N_A = N_B, sehingga
A_A(t)/A_B(t) = [N_A/N_B][T_B/T_A] = 2 jam/1 jam = 2
(b) Setelah t = 4 jam, jumlah zat radioaktif N(t) kita hitung menggunakan persamaan,
A(t) = (1/2)ⁿN₀ = (1/2)^t/TN₀
Jadi, N_A(t) = (1/2)^4/1N_A = (1/2)⁴N_A
N_B(t) = (1/2)^4/2N_A = (1/2)²N_B
Maka,
A_A(t)/A_B(t) = [N_A/N_B][T_B/T_A]
A_A(t)/A_B(t) = [1/2)⁴N_A]/[ (1/2)²N_B]x[2/1] = ½

Soal 4
Pohon hidup mengambil karbon-14 radioaktif dari atmosfer selama proses fotosintesis, dan proporsi atom-atom C-14 meluruh, waktu paronya 5600 tahun. 4 g karbon yang diambil dari pohon mati memberikan laju peluruhan dari pohon mati memberikan laju peluruhan 20,0 peluruhan per menit. Taksirlah usia pohon itu. (tetapan Avogadro = 6,0 x 10²³/mol, 1 tahun = 3,16 x 10⁷ s, ln 2 = 0,693)

Jawab;
Anggaplah 4 g karbon meluruhnya merupakan C-12, maka
4 g C-12 = 4 g[1/(1/12,0 g/mol)](6,0 x 10²³ atom/mol) = 2,0 x 10²³ atom C-12
Diketahui dalam 10¹² atom C-12 terdapat 1,25 atom radioaktif C-14. Jadi, jumlah atom radioaktif C-14 mula-mula, N₀ adalah
N₀ = [1,25/10¹²](2,0 x 10²³ atom)
     = 2,5 x 10¹¹ atom                
T_1/2 = (5600 tahun)(3,16 x 10⁷ s/tahun)
       = 1,77 x 10¹¹ s
Hitung tetapan peluruhan, λ,
λ = 0,693/T_1/2 = 0,693/(1,77 x 10¹¹ s)
   = 3,91 x 10^-12 /s

Hitung aktivitas awal, A₀,
A₀ = λN₀ = (3,91 x 10^-12 /s)(2,5 x 10¹¹ atom)
A₀ = 0,977 Bq
Diketahui aktivitas dari pohon mati atau aktivitas akhir A(t), yaitu
A(t) = 20 peluruhan/menit = 1/3 Bq
Akhirnya kita dapat menaksir usia pohon t dengan persamaan
A(t) = (1/2)ⁿA₀ = (1/2)^t/TA₀
(1/2)^t/T= A(t)/A₀
            = (1/3)Bq/(0,977 Bq)
(1/2)^t/T= 0,341
(t/T_1/2)ln(1/2) = ln 0,341
(t/5600 thn)ln(1/2) = –1,07
t = (5600 thn)(–1,07)/ln(1/2)
t = 8700 thn