Soal dan penyelesaian Gerak Harmonik sederhana 2

Soal 1

Dua partikel melakukan GHS dengan amplitudo dan frekuensi yang sama di sepanjang garis lurus yang sama. Keduanya melewati satu lagi ketika akan di arah yang berlawanan. Setiap kali perpindahan keduanya adalah setengah dari amplitudo. Tentukan perbedaan fasa antara kedua partikel.

Solusi:
Misalnya simpangan kedua partikel adalah y = A sin ωt dan y = A sin (ωt + φ)
Kasus pertama, A/2 = A sin ωt à sin ωt = ½, jadi cos ωt = √3/2,
Kasus kedua, A/2 = A sin (ωt + φ) à ½ = [sin ωt cos φ + cos ωt sin φ]
⇒½ = [½ cos φ + (√3/2) sin φ]
⇒1 = cos φ + √3 sin φà 1 – cos φ = √3 sin φ
⇒(1 – cos φ)² = (√3 sin φ)² = 3(1 – cos²φ)
⇒Maka cos φ = + 1 atau cos φ = – ½
Jadi φ = 0⁰ atau φ = 120⁰

Soal 2
Perpindahan sebuah partikel yang sedang bergerak harmonik sederhanan diberikan oleh x = 5 sin 2t, dengan x dalam sentimeter dan t dalam sekon. Jika periode gerakan adalah T, tentukan percepatan partikel pada t = T/6 s!

Solusi:
Persamaan posisi partikel adalah x = 5 sin 2t = A sin ωt, maka ω = 2 rad/s = 2π/T, maka T = π s. Dengan menggunakan diferensial tingkat dua kita peroleh persamaan percepatan
a = d²x/dt² = – 20 sin 2t
pada saat t = T/6 s = π/6 s, percepatan partikel adalah
a = – 20 sin 2(π/6) = -20 sin π/3 = -10√3 m/s²

Soal 3
Sebuah balok massa 3 kg digantung pada sebuah pegas dan menyebabkan pegas meregang 18 cm pada kesetimbangan, seperti ditunjukkan di bawah. Balok 3 kg kemudian diganti dengan 4 kg, dan balok baru dilepaskan dari posisi yang ditunjukkan di bawah, di mana pegas meregang. Seberapa jauh akan balok 4 kg jatuh sebelum akan berbalik arah? Untuk kasus balok baru, jarak total jatuh dua kali amplitudo osilasi. Percepatan gravitasi adalah 9,8 m /s².

Solusi:
Diketahui m₁ = 3 kg, m₂ = 4 kg, y₁ = 18 cm, dengan menerapkan hukum Hook, F = kx, maka
F₁/F₂ = m₁g/m₂g = ky₁/ky₂
y₂ = m₂y₁/m₁ = (4 kg)(18 cm)/3 kg = 24 cm
karena amplitudo adalah setengah dari gerak vertikal maka
y_maks = 2y₂ = 2 x 24 cm = 48 cm

Soal 4

Sebuah partikel yang melakukan GHS berada pada posisi dan gerak ke arah seperti ditunjukkan pada gambar. Jika amplitudo dan frekuensi ghs adalah 4 cm dan 2 Hz, maka tentukan posisi partikel setelah t = 1 detik dan ke arah kanan atau ke kiri?

Solusi:
Diketahui, f = 2 Hz, A = 4 cm, ω =2πf = 4π rad/s.
Kita bisa mengambil persamaan umum, x = A cos (ωt + φ₀) dan mengganti t = 0 untuk menemukan φ₀, yaitu
2 cm = 4 cm cos (0 + φ₀)
cos φ₀ = ½
φ₀ = cos^-1(1/2) = π/3 atau φ₀ = 5π/3
Pemecahan hasil φ₀= 60° (= π/3 rad) atau φ₀= 300° (= 5π/3 rad)
Jawaban pertama adalah di kuadran kesatu dan dengan demikian φ₀= 60° (= π/3 rad) karena awalnya partikel bergerak ke kiri yaitu dari kuadran I ke kuadran II. Sehingga persamaan perpindahan sebagai fungsi waktu adalah sebagai
x = A cos (ωt + φ₀) = (4 cm) cos (4πt + π/3)
maka pada saat t = 1 detik,
x = (4 cm) cos (4πt + π/3)
x = (4 cm) cos (4π x 1 + π/3)
x = (4 cm) cos (13π/3) = 2 cm ke kiri

Soal 5: Sebuah blok kecil berosilasi bolak-balik pada permukaan cekung halus dengan jari-jari R = 2,45 m (Lihat gambar). Cari periode osilasi tersebut. Jika g = 9,8 m /s².

Solusi: Biarkan balok berada di sudut ‘θ’ dengan vertikal dan dilepaskan sehingga mengalami gerakan bolak-balik. Gaya yang bekerja pada balok ditunjukkan pada gambar di bawah ini!

Gaya yang mempercepat balok menuju posisi dasar permukaan adalah, F = mgsinθ

Karena θ sangat kecil maka, sinθ ≈ θ, oleh karena itu, F = – mgθ atau a = -gθ

Jika x merupakan perpindahan balok dari posisi mendatar maka, θ = x/R

Sehingga percepatan balok menjadi

Jika suatu partikel mengalami gerak harmonik sederhana, percepatan yang dialami partikel tersebut adalah

Maka Sekarang dua persamaan untuk ‘a’, kita mendapatkan Oleh karena ω = 2п/ T, maka periode osilasi balok tersebut adalah

Sehingga dari data: R = 2,45 m dan g = 9,8 m/s2, kita peroleh perode osilasi balok tersebut adalah π sekon!

Soal 6: Sebuah partikel melakukan dua gerakan harmonis sederhana dalam arah yang sama memiliki amplitudo yang sama A dan frekuensi yang sama, f. Jika amplitudo resultan sama dengan A, Tentukan perbedaan fase antara gerakan harmonik itu?

Solusi: misalkan perbedaan fasa antara kedua gerakan itu adalah ф.Kedua gerakan yang sepanjang arah yang sama, sehingga x = x₁ + x₂