Soal Momen Inersia dan Pembahasannya

Soal 1
Batang AB massa 2 kg diputar melalui titik A ternyata momen inersianya 8 kgm². Jika diputar melalui titik pusat O (AO = OB), momen inersianya menjadi . . . .

A. 2 kg m²
B. 4 kg m²
C. 8 kg m²
D. 12 kg m²
E. 16 kg m²

Jawab: A
Dengan menggunakan konsep teorema sumbu sejajar kita dapatkan,
I_A = I_O + Md²
Dengan I_O = momen inersia terhadap titik O, I_A = momen inersia terhadap titik A, maka panjang batang adalah
I_A = ML²/3
8 kgm² = 2 kg x L²/3
L = 2√3 m,
sehingga momen inersia pada titik O adalah
8 kgm² = I_O + (2 kg)(√3 m)²
I_O = 2 kgm²
Atau dengan menggunakan rumus momen inersia pada batang dengan poros di tengah-tengah batang, yaitu
I_O = ML²/12 = 2 kg (2√3 m)²/12 = 2 kgm²

Soal 2
Jika momen inersia sebuah bola terhadap suatu sumbu melalui pusat bola adalah I, maka momen inersia bola lainnya yang sejenis tetapi jari-jari dua kalinya adalah . . . .
A. 2I
B. 4I
C. 8I
D. 16I
E. 32I

Jawab: E
Momen inersia bola dengan pusat pada sumbunya adalah
I_O = 2MR²/5 = I
Maka bola sejenis dengan jari-jari 2R memiliki momen inersia sebesar,
I_O’ = 2M’R’²/5
Kita mencari M’ dengan menggunakan konsep massa jenis,
ρ = ρ’
M/(4πR³/3) = M’(4πR’³/3)
M/R³ = M’/(2R)³
M’ = 8M
Maka, momen inersia bola dengan jari-jari 2R adalah
I_O’ = 2(8M)(2R)²/5 = 32I

Soal 3
Tiga partikel identik diikat ke ujung-ujung sebuah segitiga siku-siku sama kaki oleh batang-batang penghubung tak bermassa. Kedua sisi yang sama memiliki panjang a. Momen inersia benda tegar ini untuk sumbu  rotasi berimpit dengan hipotenusa (sisi miring) segitiga adalah. . . .
A. ¼ ma²
B. ½ ma²
C. ¾ ma² 
D. ma²
E. 3/2 ma²

Jawab: C

Dari gambar di atas jelas bahwa, dua benda yang berimpit dengan sumbu rotasi memiliki momen inersial bernilai nol, hanya ada satu benda yang memiliki jarak AB dari poros yang memiliki momen inersia sebesar,
I_sistem = m(AB)²
Dengan AB² = a² – (a√2/2)² = 3a/4
AB = a√3/2, maka
I_sistem = m(a√3/2)² = 3ma²/4

Soal 4
Sebuah cakram melingkar homogen dengan jari-jari R mulai dengan M terhadap suatu sumbu  melalui pisat cakram dan tegak lurus terhadap bidang cakram, momen inersia I₀=1/2MR².

Suatu lubang dipotong dalam cakram seperti ditunjukan dalam diagram seperti pada gambar adalah......
A. (15/32) MR²
B. (13/32) MR²
C. (3/8) MR²
D. (9/32) MR²
E. (15/16) MR²

Jawab: B
Langkah pertama kita mencari massa lubang (M’) dengan menggunakan,
ρ' = ρ (ρ’ = massa jenis lubang, dan ρ = massa jenis cakram)
M’/(πR’²t) = M/(πR²t)
M’/(R/2)² = M/(R²)
M’ = M/4
Maka momen inersia lubang terhadap porosnya adalah
I_lubang,poros = ½ M’R’² = ½ (M/4)(R/2)² = MR²/32
Momen inersia lubang terhadap poros cakram,
I_Lubang = I_O + M’d² = MR²/32 + (M/4)(R/2)² = 3MR²/32
Momen inersia cakram yang sudah dilubangi diberikan oleh
I_{Cakram, lubang} = I_O,cakram – I_lubang
I_{Cakram,lubang} = ½ (M)(R²) – (3MR²/32)
I_{Cakram,lubang} = 13MR²/32

Soal 5

Sebuah katrol dari benda pejal dengan tali yang dililitkan pada sisi luarnya ditampilkan seperti gambar. Gesekan katrol dengan tali dan gesekan disumbu putarnya diabaikan. Jika beban bergerak turun dengan percepatan tetap a m/s², maka nilai momen inersia katrol sama dengan... 
A. I = τ a R 
B. I = τ a^-1 R 
C. I = τ a R 
D. I = τ a^-1 R^-1 
E. I = τ a R^-1

Jawab: B
Momen gaya yang bekerja pada katrol oleh beban mg diberikan oleh,
τ = Iα, dengan α = a/R, maka
τ = I(a/R)
I = τa^-1R