Soal dan penyelesaian dinamika rotasi

Soal 1

Sebuah batang bermassa 2M dan panjang L dihubungkan ke dinding oleh sebuah engsel, dimana batang bebas berotasi. Seutas tali mendatar yang dihubungkan ke ujung batang menahan batang pada sudut θ terhadap arah vertikal, seperti ditunjukkan pada gambar. Jika tiba-tiba tali putus, tentukan percepatan sudut batang!

Solusi:

Tentunya batang berotasi pada engselnya (poros O), maka gaya-gaya yang bekerja pada batang ditunjukkan pada gambar di bawah ini,
Torsi pada titik O diakibatkan oleh gaya berat batang w karena ketika tali putus tegangan tali sama dengan nol (T = 0) dan gaya kontak engsel dan batang yaitu V dan H tidak menyebabkan momen gaya pada O.
Gaya w, lengan momen à OR = ½ L sin θ
Maka, resultan momen gaya pada titik O adalah
Στ_O = Iα à momen inersia batang pada salah satu ujungnya adalah I = 1/3 ML²
w x OR = (1/3 ML²)α
(w x ½ L sin θ) =  (1/3 ML²)α
(Mg x ½ L sin θ) =  (1/3 ML²)α

 

Soal 2
Silinder pejal dan bola pejal yang memiliki massa dan jari-jari yang sama dilepaskan dari keadaan diam dari sebuah bidang miring kasar dengan sudut kemiringan θ. Perbandingan percepatan yang dialami silinder dan bola tersebut adalah . . . .
A. 5 : 1
B. 2 : 1
C. 5 : 4
D. 1 : 2
E. 4 : 5

Jawab: C

Gambar di atas menunjukkan sebuah benda yang dengan momen inersia I = kMR² berotasi menuruni bidang miring, menurut hukum II Newton kita peroleh

∑F = ma
Mg sin θ – f = Ma (*)

Benda berotasi akibat gaya gesekan, maka

∑τ = Iα
fR = kMR²(a/R) karena a = αR
f = kMa (**)

dari (*) dan (**) kita peroleh

 Mg sin θ – kMa = Ma

Sehingga,

a = g sin θ/(k + 1)

untuk silinder dan bola yang memiliki momen inersia masing-masing I_silinder = ½ MR² dan I_bola = 2MR²/5, maka
a_s/a_b = 5/4


Soal  3
Dua benda bermassa m₁ = 5 kg dan m₂ = 4 kg dihubungkan dengan seutas tali ringan melalui sebuah katrol dengan massa M =  2 kg dan jari-jari R = 10 cm. Massa m₂ berada pada bidang miring licin dengan sudut kemiringan θ = 30⁰. Tentukan: (a) percepatan sistem, (b) percepatan sudut katrol, dan (c) tegangan tali.
                                                                   
Jawab:
Gambar di bawah menunjukkan gaya-gaya yang bekerja pada benda dan katrol.

Hukum II Newton berlaku untuk kedua benda,

Benda m₁:
50 N – T₁ = 5a
T₁ = 50 – 5a (*)

Benda m₂:
T₂ – 20 N = 4a
T₂ = 20 + 4a (**)

Katrol:
∑τ = Iα
(T₁ – T₂)R = ½MR²(a/R)
T₁ – T₂ = ½Ma = a (***)

Dari persamaan (*), (**) dan (***) kita peroleh

50 – 5a – (20 + 4a) = a
a = 3 m/s²

maka percepatan sudut katrol adalah

α = a/R = 3 m/s²/0,1 m = 30 rad/s²

Tegangan pada kedua tali adalah
T₁ = 50 – 5a = 35 N
T₂ = 20 + 4a = 32 N

Soal  4
Sebuah bola pejal bermassa m = 5,0 kg berada diatas permukaan bidang miring yang kasar dengan sudut θ =  30⁰ yang ditarik gaya F = 23 N seperti diperlihatkan gambar berikut!

Percepatan gerak bola jika jari-jarinya adalah R = 10 cm adalah . . . .

A. 1,5 m/s²
B. 3,0 m/s²
C. 4,0 m/s²
D. 5,5 m/s²
E. 7,0 m/s²

Jawab:
Gaya-gaya yang bekerja pada bola diperlihatkan pada gambar di bawah ini!

Berlaku hukum II Newton pada bola, sehingga

F + f + (–mg sin θ) = ma (*)

Bola berotasi terhadap porosnya akibat adanya gaya gesek dan gaya F, maka
∑τ = Iα dengan a = αR, maka

–FR + fR = (–2mR²/5)(a/R)
F – f = 2ma/5
f = F – 2ma/5  (**)

Dari (*) dan (**) kita peroleh

F + (F – 2ma/5) + (–mg sin θ) = ma
2F – mg sin θ = 7ma/5
a = 5[2F – mg sin θ]/7m
a = 5[2 x 23 N – 50(1/2)]/(7 x 5 kg) = 3,0 m/s²