Soal dan Pembahasan Hukum Newton tentang Gravitasi 6
Soal 1
Pada ketinggian berapa diatas permukaan bumi, percepatan gravitasi akan berkurang: (a) 1 persen dibandingkan dengan permukaan bumi, dan (b) 5 persen dibandingkan dengan permukaan bumi.
Jawab:
Percepatan yang dialami suatu benda pada permukaan Bumi dengan jari-jari R = 6,371 km diberikan oleh
g0 = GM/R2
dan percepatan gravitasi yang dialami suatu benda pada ketinggian h dari permukaan Bumi adalah
g = GM/(R + h)2
(a) gravitasi akan berkurang 1% dari gravitasi di permukaan Bumi artinya
g’ = 99%g0
GM/(R + h)2 = 0,99GM/R2
R2 = 0,99(R + h)2
R = 0,995(R + h)
h = (5,025 x 10-3)R ≈ 32,0 km
(b) gravitasi akan berkurang 5% dari gravitasi di permukaan Bumi artinya
g’ = 95%g0
GM/(R + h)2 = 0,95GM/R2
R2 = 0,95(R + h)2
R = 0,975(R + h)
h = (2,564 x 10-2)R ≈ 163,4 km
Soal 2
Gunakan informasi dalam tabel di samping untuk menghitung: (a) Kuat medan gravitasi Bumi pada Bulan, (b) jarak dari permukaan Bumi ke titik antara Bumi dan Bulan dengan kuat medan gravitasi di titik tersebut akibat Bumi dan Bulan adalah nol (jarak Bumi-Bulan adalah 3,8 × 108 m), (c) potensial gravitasi di titk pada soal (b) saat medan gravitasinya nol.
Jawab:
(a) Kuat medan gravitasi dinyatakan sebagai
g = GM/R2
dengan M = massa Bumi dan Bulan, R = jari-jari Bumi dan Bulan. Dari tabel kita ketahui bahwa medan gravitasi pada Bumi dan Bulan berturut-turut adalah 9,8 m/s2 dan 1,6 m/s2.
(b) Misalkan titik O adalah titik yang tidak merasakan gravitasi akibat Bumi dan Bulan dan terletak pada jarak L dari pusat Bumi.
Massa Bumi adalah
gB = GMB/RB
9,80 m/s2 = (6,67 x 10-11 Nm2/kg2)MB/(6400 x 103 m)2
MB = 6,02 x 1024 kg
Massa Bulan adalah
gb = GMb/Rb
1,60 m/s2 = (6,67 x 10-11 Nm2/kg2)MB/(1600 x 103 m)2
Mb = 6,14 x 1022 kg
Agar titik O tidak merasakan medan gravitasi Bumi-Bulan, maka berlaku
gB = gb
GMB/L2 = GMb/(3,8 × 108 m – L)2
(6,02 x 1024 kg)/L2 = (6,14 x 1022 kg)/(3,8 × 108 m – L)2
24,5/L = 2,48/(3,8 × 108 m – L)
26,98L = 9,31 x 109 m
L = 3,45 x 108 m di ukur dari Bumi
atau sekitar 3,5 x 107 m dari Bulan
Soal 3
(a) Hitung besar dan arah percepatan gravitasi di suatu titik P yang terletak pada garis sumbu dari garis penghubung dua buah massa yang terpisah sejauh 2a, seperti ditunjukkan pada gambar. Nyatakan jawaban anda dalam G, m, dan a. (b) Hitung potensial gravitasi di titik P. Nyatakan dalam G, M, dan a.
Jawab:
Vektor gravitasi pada titik P akibat kedua massa M ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Gravitasi pada titik P akibat satu massa M adalah
g = GM/r2 dengan
r2 = a2 + 4a2 = 5a2, maka
g = GM/5a2
dengan menggunakan aturan cos, kita peroleh nilai sudut 2θ sebagai
4a2 = 5a2 + 5a2 – 10a2 cos2θ
cos2θ = 0,6
2θ = 530, sehingga
Gravitasi total akibat kedua massa M pada titik P adalah
gT = √{g2 + g2 – 2g2 cos2θ}
gT = √{2g2 – 2g2(0,6)}
gT = 0,4g√5
(b) Potensial gravitasi di titik P akibat kedua massa kita gunakan rumus
$V_P= -\frac{Gm_1}{r_1}-\frac{Gm_2}{r_2}-\frac{Gm_3}{r_3}+... $
Jarak dari kedua benda yang massanya M ke titik P sama yaitu $a\sqrt{5}$, maka
$V_P= -\frac{Gm}{a \sqrt{5}}-\frac{Gm}{a\sqrt{a}}$
$V_P= -\frac{2Gm}{a \sqrt{5}}$
$V_P= -\frac{2\sqrt{5}Gm}{5a}$
Soal 4
Sebuah satelit komunikasi mengorbit bumi dengan periode 24 jam dalam orbit yang tampak stasioner ketika dilihat dari permukaan bumi. Orbitnya disebut orbit sinkronos karena satelit-satelit bergerak berkeliling pada laju yang sama dengan laju rotasi bumi. Gunakanlah hukum kepler III untuk menghitung ketinggian satelit komunikasi.
Jawab:
Ketika satelit mengorbit Bumi dalam lintasan melingkar gaya tarik-menarik antara Bumi dan satelit berperilaku sebagai gaya sentripetal, maka dapat dituliskan
Fs = Fg
$m\frac{v^2}{r}=G\frac{M.m}{r^2}$
$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
dengan r = R + h = jarak dari satelit ke pusat Bumi dan karena percepatan gravitasi di permukaan Bumi
$g=G\frac{GM}{R^2}$, maka
$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
$v = \sqrt{G\frac{GM}{R+h}\times \frac{R^2}{R^2}}$
$v = \sqrt{G\frac{GM}{R^2}\times \frac{R^2}{R+h}}$
$v = \sqrt{g \frac{R^2}{R^2}}$
$v = R\sqrt{\frac{g}{R+h}}$
karena
$v = \frac{2 \pi r}{T}= \frac{2\pi r (R + h)}{T}$, maka
$\frac{2\pi (R +h)}{T}=R \sqrt{\frac{g}{R+h}}$
4π2(h + R)3 = gR2T2
$(R+h)^3 = \frac{gR^2 T^2}{4 pi^2}$
$h = \sqrt[3]{\frac{gR^2 T^2}{4 \pi^2}}-R$
$h = \sqrt[3]{\frac{(9,8 m/s^2)(6,37 \times 10^6 \ m)^2 (24 \times 3600 \ s)^2}{4 \pi^2}}-6,37 \times 10^6 \ m$
h = 35,85 km
Pada ketinggian berapa diatas permukaan bumi, percepatan gravitasi akan berkurang: (a) 1 persen dibandingkan dengan permukaan bumi, dan (b) 5 persen dibandingkan dengan permukaan bumi.
Jawab:
Percepatan yang dialami suatu benda pada permukaan Bumi dengan jari-jari R = 6,371 km diberikan oleh
g0 = GM/R2
dan percepatan gravitasi yang dialami suatu benda pada ketinggian h dari permukaan Bumi adalah
g = GM/(R + h)2
(a) gravitasi akan berkurang 1% dari gravitasi di permukaan Bumi artinya
g’ = 99%g0
GM/(R + h)2 = 0,99GM/R2
R2 = 0,99(R + h)2
R = 0,995(R + h)
h = (5,025 x 10-3)R ≈ 32,0 km
(b) gravitasi akan berkurang 5% dari gravitasi di permukaan Bumi artinya
g’ = 95%g0
GM/(R + h)2 = 0,95GM/R2
R2 = 0,95(R + h)2
R = 0,975(R + h)
h = (2,564 x 10-2)R ≈ 163,4 km
Soal 2
Gunakan informasi dalam tabel di samping untuk menghitung: (a) Kuat medan gravitasi Bumi pada Bulan, (b) jarak dari permukaan Bumi ke titik antara Bumi dan Bulan dengan kuat medan gravitasi di titik tersebut akibat Bumi dan Bulan adalah nol (jarak Bumi-Bulan adalah 3,8 × 108 m), (c) potensial gravitasi di titk pada soal (b) saat medan gravitasinya nol.
| Kuat medan gravitasi di permukaan (N/kg) | Jari-jari | |
| Bumi | 9,8 | 6400 |
| Bulan | 1,6 | 1600 |
Jawab:
(a) Kuat medan gravitasi dinyatakan sebagai
g = GM/R2
dengan M = massa Bumi dan Bulan, R = jari-jari Bumi dan Bulan. Dari tabel kita ketahui bahwa medan gravitasi pada Bumi dan Bulan berturut-turut adalah 9,8 m/s2 dan 1,6 m/s2.
(b) Misalkan titik O adalah titik yang tidak merasakan gravitasi akibat Bumi dan Bulan dan terletak pada jarak L dari pusat Bumi.
Massa Bumi adalah
gB = GMB/RB
9,80 m/s2 = (6,67 x 10-11 Nm2/kg2)MB/(6400 x 103 m)2
MB = 6,02 x 1024 kg
Massa Bulan adalah
gb = GMb/Rb
1,60 m/s2 = (6,67 x 10-11 Nm2/kg2)MB/(1600 x 103 m)2
Mb = 6,14 x 1022 kg
Agar titik O tidak merasakan medan gravitasi Bumi-Bulan, maka berlaku
gB = gb
GMB/L2 = GMb/(3,8 × 108 m – L)2
(6,02 x 1024 kg)/L2 = (6,14 x 1022 kg)/(3,8 × 108 m – L)2
24,5/L = 2,48/(3,8 × 108 m – L)
26,98L = 9,31 x 109 m
L = 3,45 x 108 m di ukur dari Bumi
atau sekitar 3,5 x 107 m dari Bulan
Soal 3
(a) Hitung besar dan arah percepatan gravitasi di suatu titik P yang terletak pada garis sumbu dari garis penghubung dua buah massa yang terpisah sejauh 2a, seperti ditunjukkan pada gambar. Nyatakan jawaban anda dalam G, m, dan a. (b) Hitung potensial gravitasi di titik P. Nyatakan dalam G, M, dan a.
Jawab:
Vektor gravitasi pada titik P akibat kedua massa M ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Gravitasi pada titik P akibat satu massa M adalah
g = GM/r2 dengan
r2 = a2 + 4a2 = 5a2, maka
g = GM/5a2
dengan menggunakan aturan cos, kita peroleh nilai sudut 2θ sebagai
4a2 = 5a2 + 5a2 – 10a2 cos2θ
cos2θ = 0,6
2θ = 530, sehingga
Gravitasi total akibat kedua massa M pada titik P adalah
gT = √{g2 + g2 – 2g2 cos2θ}
gT = √{2g2 – 2g2(0,6)}
gT = 0,4g√5
(b) Potensial gravitasi di titik P akibat kedua massa kita gunakan rumus
$V_P= -\frac{Gm_1}{r_1}-\frac{Gm_2}{r_2}-\frac{Gm_3}{r_3}+... $
Jarak dari kedua benda yang massanya M ke titik P sama yaitu $a\sqrt{5}$, maka
$V_P= -\frac{Gm}{a \sqrt{5}}-\frac{Gm}{a\sqrt{a}}$
$V_P= -\frac{2Gm}{a \sqrt{5}}$
$V_P= -\frac{2\sqrt{5}Gm}{5a}$
Soal 4
Sebuah satelit komunikasi mengorbit bumi dengan periode 24 jam dalam orbit yang tampak stasioner ketika dilihat dari permukaan bumi. Orbitnya disebut orbit sinkronos karena satelit-satelit bergerak berkeliling pada laju yang sama dengan laju rotasi bumi. Gunakanlah hukum kepler III untuk menghitung ketinggian satelit komunikasi.
Jawab:
Ketika satelit mengorbit Bumi dalam lintasan melingkar gaya tarik-menarik antara Bumi dan satelit berperilaku sebagai gaya sentripetal, maka dapat dituliskan
Fs = Fg
$m\frac{v^2}{r}=G\frac{M.m}{r^2}$
$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
dengan r = R + h = jarak dari satelit ke pusat Bumi dan karena percepatan gravitasi di permukaan Bumi
$g=G\frac{GM}{R^2}$, maka
$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
$v = \sqrt{G\frac{GM}{R+h}\times \frac{R^2}{R^2}}$
$v = \sqrt{G\frac{GM}{R^2}\times \frac{R^2}{R+h}}$
$v = \sqrt{g \frac{R^2}{R^2}}$
$v = R\sqrt{\frac{g}{R+h}}$
karena
$v = \frac{2 \pi r}{T}= \frac{2\pi r (R + h)}{T}$, maka
$\frac{2\pi (R +h)}{T}=R \sqrt{\frac{g}{R+h}}$
4π2(h + R)3 = gR2T2
$(R+h)^3 = \frac{gR^2 T^2}{4 pi^2}$
$h = \sqrt[3]{\frac{gR^2 T^2}{4 \pi^2}}-R$
$h = \sqrt[3]{\frac{(9,8 m/s^2)(6,37 \times 10^6 \ m)^2 (24 \times 3600 \ s)^2}{4 \pi^2}}-6,37 \times 10^6 \ m$
h = 35,85 km
Post a Comment for "Soal dan Pembahasan Hukum Newton tentang Gravitasi 6"
Sobat Fisika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!