Soal Rangkaian Listrik AC dan Pembahasannya 6

Soal 1
Resistor 60 Ω dan induktor dengan reaktansi induktif 160 Ω dan kapasitor dengan reaktansi kapasitif 80 Ω dirangkai seri pada sumber tegangan bolak-balik v = 200 sin (100πt). Tentukan:

(a) impedansi rangkaian,

(b) beda sudut fase antara tegangan terhadap arus

(c) sifat rangkaian: resistif, kapasitif, atau induktif

(d) tuliskan persamaan arusnya

(e) tegangan pada masing-masing komponen

(f) daya disipasi pada rangkaian

Jawab:

(a) impedansi rangkaian dicari dengan menggunakan

Z² = (X_L - X_C)² + R²

Z² = (160 Ω – 80 Ω)² + (60 Ω)²

Z = 100 Ω

(b) beda sudut fase antara tegangan terhadap arus adalah

tan θ = (X_L – X_C)/R

tan θ = (160 Ω – 80 Ω)/(60 Ω) = 4/3

θ = 53⁰

(c) sifat rangkaian induktif karena X_L > X_C

(d) persamaan arusnya adalah

I = i_m sin (ωt - 53⁰)

Dengan I_m = V_m/Z = 200 V/100 Ω = 2,0 A

Jadi, persamaan kuat arus

I = 2,0 A sin (100πt - 53⁰)

(e) kuat arus efektif dalam rangkaian adalah i_ef = i_m/√2 = 2,0 A/√2 = ½√2 A

tegangan pada resistor, V_R = IR = (½√2 A) x 60 Ω = 20√2 V

tegangan pada kapasitor, V_C = IX_C = (½√2 A) x 80 Ω = 40√2 V

tegangan pada induktor, V_L = IX_L = (½√2 A) x 160 Ω = 80√2 V

(f) daya disipasi pada rangkaian adalah

P = i²R = (½√2 A)² x 60 Ω = 30 watt

Soal 2
Suatu rangkaian RLC mengandung R = 75 Ω, L = 4 H, dan C = 100 µF: tentukan frekuensi sudut suplai AC yang memungkinkan impedansi rangkaian sama dengan 125 Ω.

Jawab:

impedansi rangkaian diberikan oleh

Z² = (X_L - X_C)² + R²

Z² = (ωL – 1/ωC)² + R²

(125 Ω)² = {ω x 4 – 1/(ω x 100 x 10^-6 F)}² + (75 Ω)²

{ω x 4 – 1/(ω x 100 x 10^-6 F)}² = 25²(5² - 3²)

ω x 4 – 1/(ω x 100 x 10^-6 F) = 100

4ω² – 10000 = 100ω

ω² - 25ω – 2500 = 0

ω = {+25 ± √[-25² – 4 x (-2500)]}/2 ≈ 64 rad/s

Soal 3
Rangkaian RLC seri mengandung sebuah kapasitor variabel. Bagaimana perubahan frekuensi resonansi rangkaian ketika luas kapasitor ditingkatkan empat kali?

Jawab:

resonansi terjadi jika X_L = X_C, sehingga frekuensinya adalah

ωL = 1/ωC

ω² = 1/LC

f² = 1/(4π²LC)

ingat bahwa kapasitor berbanding lurus dengan luar kepingnya (C ∝ A), maka

f ≈ 1/√A

maka

f₁/f₂ = (A₂/A₁)^1/2

f/f₂ = (4A/A)^1/2

f₂ = ½f

Jadi, ketika luas kapasitor diperbesar empat kali maka frekuensi resonansi akan berkurang menjadi setengah kali semula.

Soal 4
Gelombang radio FM disiarkan antara 90 MHz dan 120 MHz. berapakah kisaran kapasitas kapasitor-kapasitor yang harus digunakan untuk menyetel sesuai dengan sinyal-sinyal ini jika digunakan sebuah induktor 4 µH?

Jawab:

resonansi terjadi jika X_L = X_C, sehingga frekuensinya adalah

f² = 1/(4π²LC)

maka untuk f = 90 MHz,

C = 1/4π²Lf² = 1/(4π² x 90 x 10⁶ Hz x 4 x 10^-6 H) = 70,4 µF

maka untuk f = 120 MHz,

C = 1/4π²Lf² = 1/(4π² x 120 x 10⁶ Hz x 4 x 10^-6 H) = 52,8 µF

Jadi, kisaran kapasitas kapasitor-kapasitor yang harus digunakan untuk menyetel sesuai dengan sinyal-sinyal ini adalah dari 52,8 µF dan 70,4 µF

Soal 5
Suatu rangkaian seri RLC terdiri atas sebuah resistor 60 Ω, sebuah kapasitor 5 μF, dan induktor 50 mH. Sebuah sumber dengan frekuensi variabel dari 340 V (efektif) diberikan pada ujung-ujung rangkaian tersebut. Tentukan daya yang hilang dalam rangkaian, jika frekuensinya sama dengan setengah dari frekuensi resonansi!

Jawab:

Frekuensi resonansi diberikan oleh

f² = 1/(4π²LC)

f² = 1/(4π² x 50 x 10^-3 H x 5 x 10^-6 F)

f² = 10⁶/π²

f = 1000/π Hz

maka frekuensi sumber adalah f_s = ½ f = 500/π Hz

maka reaktansi induktif adalah

X_L = ωL = 2πfL = 2π x (500/π Hz) x 50 x 10^-3 H = 50 Ω

Reaktansi kapasitor adalah

X_C = 1/ωC = 1/(2πfC)

X_C = 1/(2π x 500/π Hz x 5 x 10^-6 F) = 200 Ω

Maka impedansi rangkaian adalah

Z² = (X_L - X_C)² + R²

Z² = (50 Ω – 200 Ω)² + (60 Ω)²

Z = 161,55 Ω

Maka kuat arus efektif yang mengalir dalam rangkaian diberikan oleh

I = V/Z = 340 V/161,55 Ω = 2,1 A

Maka daya yang hilang dalam rangkaian (daya disipasi) adalah

P = i²R = (2,1 A)² x 60 Ω = 264,6 Watt