Menentukan Resultan Vektor dengan Rumus Cosinus

Dengan menggambar vektor resultan menggunakan metode segitiga atau jajargenjang, Anda dapat  menemukan suatu formula untuk menetukan besar resultan vektor dan arahnya jika sudut apit antara dua vektor diketahui.

Bagaimana menentukan Rumus resultan vektor?

Gambar 1

Jika dua vektor A dan B dengan sudut apit keduanya θ! Dengan metode jajargenjang resultan vektor dapat digambar seperti gambar (1). Dari gambar (1) Anda menemukan segitiga sebarang ∆ORQ. Dengan menerapkan aturan kosinus pada segitiga sembarang seperti pada persamaan (1), maka, resultan vektor R = A + B, dapat dituliskan sebagai,

Karena OQ = panjang resultan vektor A + B = R, OR = panjang vektor A dan QR = panjang vektor B, dengan cos (180 – θ) =  – cos θ maka persamaan (2) menjadi

Dari gambar kita peroleh arah resultan vektor R adalah θ yang dapat Anda tentukan dengan rumus    (1d), maka arah vektor resultan menurut gambar (1) dapat ditulis sebagai

Untuk besar selisih antara kedua vektor A – B atau B – A ditentukan dengan

Soal 1
Dua vektor kecepatan v dan u masing-masing memiliki besar 3 m/s dan 4 m/s dengan sudut apit antara kedua vektor tersebut adalah 60⁰. Tentukan besar dan arah (a) resultan kedua vektor kecepatan dan (b) selisih kedua vektor!

 

Jawab:
Dengan menggunakan persamaan (3), (4) dan (5) dan bantuan gambar di bawah ini, kita dapatkan

(a) resultan vektor u + v
R = u + v = (u² + v² + 2uv cos θ)^1/2
   = (3² + 4² + 2 x 3 x 4 cos 60⁰)^1/2
R = √37 m/s
Arahnya:
R/ sin 120⁰ = v/sin α
√37/(0,5√3) = 3/sin α
Sin α = 0,42712
α = 25,28⁰ terhadap vektor u

(b) Selisih u – v
S = u – v = (u² + v² + 2uv cos (180 – θ))^1/2 atau
S = (u² + v² – 2uv cos θ)^1/2
   = (3² + 4² – 2 x 3 x 4 cos 60⁰)^1/2
S = √13 m/s
Arahnya:
S/sin 60⁰ = |-v|/sin β
√13/(0,5√3) = 3/sin β
Sin β = 0,7205
α = 46,1⁰ terhadap vektor u