Soal Gaya Lorentz Pada Partikel Bermuatan Listrik dan Pembahasannya

Soal 1
Sebuah elektron sedang bergerak pada bidang XY dengan kecepatan 3,0 x 10⁵ m/s membentuk sudut 30⁰ terhadap sumbu X positif. Elektron itu berada dalam daerah medan magnetik dengan induksi magnetik 7,5 x 10^-3 T. Tentukan besar dan arah gaya yang dialami elektron (muatan elektron =  –1,6 x 10^-19 C), jika garis magnetik berarah ke (a) sumbu X, (b) sumbu Y dan (c) sumbu Z.

Jawab:
Kecepatan elektron v = 3,0 x 10⁵ m/s, induksi magnetik B = 7,5 x 10^-3 T, dan muatan elektron q = –1,6 x 10^-10 C.
Kita tentukan dahulu besar komponen kecepatan v_x dan v_y, kemudian vektor v. Lihat gambar di bawah ini,

v_x = v cos 30⁰ = 30 x 10⁵ m/s (½√3)
v_xy = v sin 30⁰ = 30 x 10⁵ m/s (½)
v = v_xi + v_yj
   = 1,5 x 10⁵ (√3i + j) m/s
(a) Induksi magnetik B = (7,5 x 10^-3 i)T, maka
F = qv x B
   = (–1,6 x 10^-19 C)( 1,5 x 10⁵ (√3i + j) m/s) x (7,5 x 10^-3 i)
   = (–1,6 x 10^-19)( 1,5 x 10⁵) x (–7,5 x 10^-3 k)
F = (+1,8 x 10^-16 k) N
Jadi, besar gaya F = 1,8 x 10^-16 N dan arahnya ke sumbu z positif.
(b) Induksi magnetik B = (7,5 x 10^-3 j)T, maka
F = qv x B
   = (–1,6 x 10^-19 C)( 1,5 x 10⁵ (√3i + j) m/s) x (7,5 x 10^-3 j)
   = (–1,6 x 10^-19)( 1,5 x 10⁵) x (–7,5 x 10^-3 √3 k)
F = (+1,8√3 x 10^-16 k) N
Jadi, besar gaya F = 1,8√3 x 10^-16 N dan arahnya ke sumbu z positif.
(c) Induksi magnetik B = (7,5 x 10^-3 k)T, maka
F = qv x B
   = (–1,6 x 10^-19 C)( 1,5 x 10⁵ (√3i + j) m/s) x (7,5 x 10^-3 k)
   = (–1,8 x 10^-16i + 1,8√3 x 10^-16j) N
F = +1,8x 10^-16(√3j – i) N
Maka besar F adalah
F = 1,8x 10^-16(√3² + (-1)²) = 3,6 x 10^-16 N
Arah tan θ = √3/(-1), θ = 120^0.
Jadi, besar gaya F = 3,6 x 10^-16 N dan arahnya membentuk sudut 120⁰ terhadap sumbu x positif dalam bidang XY.

Soal 2
Hitung besar gaya yang dialami oleh sebuah elektron (muatan elektron = 1,6 x 10^-19 C) yang bergerak dengan kelajuan 1,5 x 10^-6 m/s memasuki suatu medan magnetik dengan induksi magnetik 2 x 10^-3 T, jika arah kecepatan, (a) tegak lurus, (b) miring 60⁰, dan (c) sejajar dengan arah medan magnetik.

Jawab:
Kelajuan v = 1,5 x 10^-6 m/s, induksi magnetik B = 2 x 10^-3 T, muatan elektron q = 1,6 x 10^-19 C.
(a) kecepatan tegak lurus medan magnetik, berarti θ = ∠(v, B) = 90⁰, sehingga besar gaya F dapat dihitung dengan persamaan,
F = qvB
   = (1,6 x 10^-19 C)(1,5 x 10⁶ m/s)(2 x 10^-3 T)
F = 4,8 x 10^-16 N
(b)  θ = ∠(v, B) = 60⁰, sehingga besar gaya F dapat dihitung dengan persamaan,
F = qvB sin θ
   = (1,6 x 10^-19 C)(1,5 x 10⁶ m/s)(2 x 10^-3 T) sin 60⁰
F = 2,4√3 x 10^-16 N
(c) kecepatan sejajar medan magnetik, berarti θ = ∠(v, B) = 0⁰, maka F = qvB sin θ = 0

Soal 3

Sebuah proton (q = +e, m = 1,67 x 10^-27 kg) dengan laju 8 x 10⁶ m/s memasuki medan magnetik B = 0,15 T (yang berarah dalam arah sumbu X) pada sudut 30⁰. (a)  Saat t = 0, tentukan gaya yang bekerja pada proton itu dan percepatannya, (b) carilah jari-jari lintasan sekrup (heliks), (c) carilah besar kecepatan sudut dan periode proton dan (d) tentukan besar jarak yang ditempuh sepanjang sumbu heliks tiap putaran?

Jawab:
Diketahui massa proton m_p = 1,67 x 10^-27 kg,
Muatan proton q_e = 1,6 x 10^-19 C,
Kecepatan proton v = 8 x 10⁶ m/s,
Medan magnetik, B = 0,15 T

(a) kita dapat menuliskan vektor kecepatan sebagai v = v_xi + v_yj = 0,86vi + 0,5vj dan vektor medan magnetiknya adalah B = 0,15j (lihat gambar), maka gaya magnetik yang dialami proton adalah
F = qv x B
   = (1,6 x 10^-19)(0,86vi + 0,5vj) x (0,15j)
F = (0,2064 x 10^-19  v)k
F = (1,65 x 10^-13 N)k
Maka percepatan yang dialami proton tersebut adalah
a = F/m
   = (1,65 x 10^-13 N)k/(1,67 x 10^-27 kg)
a = (0,988 x 10¹⁴ m.s^-2)k ≈ (1,0 x 10¹⁴ m.s^-2)k

(b) gaya magnetik yang tegak lurus dengan kecepatan sehingga laju proton tidak berubah. Jari-jari lintasan berbentuk garis sekrup dengan kecepatan digantikan oleh komponen tegak lurus terhadap B. Pada t = 0 komponen ini adalah v_y, sehingga

R = mv_y/qB
   =  (1,67 x 10^-27)(0,5 x 8 x 10⁶)/(1,6 x 10^-19 x 0,15)
R = 27,83 x 10^-2 m = 27,83 cm
 (c) karena v = ωR, maka
v_y = ωR
ω = v_y/R = qB/m = 1,44 x 10⁷ rad/s
dan ω = 2π/T, maka
T = 2π/ω = 4,37 x 10^-7 detik
(d) jarak yang ditempuh sepanjang sumb x tiap putaran adalah
x = v_xT = (0,86 x 8 x 10⁶)(4,37 x 10^-7)
x = 3,0 m

Soal 4 (UM UGM 2014)
Sebuah partikel bermassa m dan bermuatan q mula‐mula berada di titik A di atas permukaan meja. Pada ruang di atas permukaan meja itu terdapat medan magnet seragam berarah vertikal ke bawah. Pada saat t₀ partikel diberi kecepatan awal dengan komponen vertikal u₀ dan mendatar v₀ . Akibatnya partikel akan bergerak dengan lintasan berupa spiral vertikal ke atas. Berapakah ketinggian partikel itu diukur dari permukaan meja ketika untuk kedua kalinya partikel itu berada di atas titik A?

Jawab:

kita dapat menuliskan vektor kecepatan sebagai v = v₀i + u₀k  dan vektor medan magnetiknya adalah B = Bk (lihat gambar), maka gaya magnetik yang dialami partikel tersebut adalah

F = qv x B
   = q(v₀i + u₀k) x (Bk)
F = qv₀B (-j)
Besar gaya magnetik yang bekerja pada partikel adalah
F = qv₀B berarah ke sumbu y negatif
Karena F tegak lurus dengan v₀ maka dalam kondisi ini partikel bergerak melingkar dengan gaya magnetik berperilaku sebagai gaya sentripetal yaitu
qv₀B = mv₀²/R
qB = mv₀/R
karena v₀ = ωR = (2π/T)R, dengan T = periode partikel bergerak melingkar, maka
qB = mv₀/(v₀T/2π)
T = 2πm/qB, maka
Waktu yang dibutuhkan untuk kedua kalinya berada di atas titik A adalah
T = t/2
t = 2T = 4πm/qB
maka jarak yang ditempuh partikel untuk waktu t adalah
z = v_zt
z = u_­0(4πm/qB)