Soal dan Pembahasan Momentum Sudut (bag 2)

Soal 1
Sebuah cincin melingkar tipis m dan jari jari R diputar terhadap porosnya dengan kecepatan sudut ω. Dua benda masing masing bermassa M diikat kuat pada ujung-ujung diameter cincin yang saling berseberangan. Cincin sekarang berputar dengan kecepatan ω' = . . . . 
A. mω/(m + 2M) 
B. mω/(m + M)
C. 2mω/(m + M) 
D. ω(m – 2M)/(m + 2M) 
E. Mω/(m + M)

Jawab: A
Momen inersia cincin adalah I_cincin = mR²,
Ketika pada ujung-ujung diameter cincin ditempatkan benda bermassa M, maka momen inersia cincin + benda adalah
I_{Cincin + benda} = mR² + 2MR²
Maka dengan menggunakan hukum kekekalan momentum sudut, kita peroleh
I_cincinω = (I_{Cincin + benda})ω’
mR²ω = (mR² + 2MR²)ω’
ω’ = mω/(m + 2M)

Soal 2
Gambar di samping menunjukkan dua benda bermassa 0,50 kg dan 1,00 kg yang dihubungkan oleh batang ringan dengan panjang 4,00 m dan diletakkan pada suatu permukaan licin. Sebuah benda P massa 0,50 kg yang bergerak pada kecepatan 4,00 m/s menumbuk dan menempel ke benda bermassa 0,50 kg dan sistem benda-benda ini berotasi terhadap pusat massa. Kecepatan sudut sistem benda-benda tersebut adalah . . . .

A. 0,25 rad/s
B. 0,33 rad/s
C. 0,50 rad/s
D. 1,00 rad/s
E. 1,25 rad/s

Jawab: C
Momentum sudut awal
L_awal­­ = mvr = 0,50 kg x 4,00 m/s x 2,00 m = 4,00 kg m²/s
Momentum sudut akhir
L_akhir = Iω = [2 x 1,00 x (2,00 m)²]ω = 8 kgm²ω
Hukum kekekalan momentum sudut
L_awal = L_akhir
4,00 kg m²/s = 8 kgm²ω
ω = 0,50 rad/s


Soal 3
Sebuah komedi putar berdiameter 3 m dengan momen inersia 120 kg.m² berotasi dengan kelajuan 0,5 putaran per sekon. Empat orang anak masing-masing bermassa 25 kg tiba-tiba melompat dan duduk di tepi komedi putar.

 Kecepatan sudut komedi putar sekarang adalah . . . .
A. 0,11 rot/s
B. 0,14 rot/s
C. 0,17 rot/s
D. 1,14 rot/s
E. 1,17 rot/s

Jawab:

Jari-jari komidi putar r = 1,5 m dan momen inersianya, I₁ = 120 kgm², kelajuan putarnya, ω₁ = 0,5 put/s, massa total anak yang melompat, m = 100 kg, maka kecepatan sudut (ω₂) komidi putar sekarang adalah
L₁ = L₂
I₁ω₁ = I₂ω₂
120 kgm² x 0,5 put/s = [120 kgm² + 100 kg x (1,5 m)²]  x ω₂
ω₂ = 0,173 put/s

Soal  4
Dari soal 3, energi total yang hilang akibat gesekan antara anak dan komedi putar adalah . . . .
A. 388,4 J
B. 307,2 J
C. 278,0 J
D. 268,4 J
E. 250,5 J

Jawab:
Energi awal (energi komidi putar sebelum anak melompat) adalah
EK_awal = ½ I₁ω₁² = ½ (120 kgm²)(0,5 x 2π rad/s)² = 592,18 J

Dan energi kinetik akhir (energi kinetik komidi putar setelah anak melompat) adalah
EK_akhir = ½ I₂ω₂² = ½ (345 kgm²)(0,173 x 2π rad/s)² = 203,82 J

Maka energi yang hilang sebesar,
ΔEK = EK_akhir – EK_awal = 203,82 J – 592,18 J = 388,4 J

Soal 5
Sebuah benda bermassa m = 50 g diikat pada ujung seutas tali yang kemudian dilewatkan ke sebuah lubang pada permukaan horisontal yang licin sempurna seperti pada gambar. Semula benda bergerak dengan kecepatan linear v0 = 1,5 m/s dan r0 = 0,3 m, kemudian tali ditarik perlahan-lahan dari bawah sehingga jejari gerak melingkar menjadi r = 0,1 m. Kerja yang dilakukan untuk mengubah jejari lintasan adalah . . . .
A. 0,24 J
B. 0,38 J
C. 0,45 J
D. 0,55 J
E. 0,64 J

Jawab: C
Dengan menggunakan hukum kekekalan momentum sudut,
mv_or_o = mvr
1,5 m/s x 0,3 m = v x 0,1 m
v = 4,5 m/s

kerja yang dilakukan untuk mengubah jejari lintasan adalah
W = ΔEK
W = ½m(v² – v₀²) = ½ x 0,05 kg [(4,5 m/s)² – (1,5 m/s)²]
W = 0,45 J

Soal 6

Roda A memiliki massa 2 kg dan jari-jari 0,20 m, serta kecepatan sudut awal 50 rad/s ( kira-kira  500 rpm ). Roda A dikopel (satu poros) dengan keping B yang memiliki massa 4 kg dan jari-jari 0,10 m, dan kecepatan sudut awal 200 rad/s. Tentukan kecepatan sudut akhir setelah keduanya didorong sehingga bersentuhan. Apakah energi kinetik kekal selama proses ini?

 

Jawab:
Asumsikan arah putaran awal keduanya adalah sama,
hukum kekekalan momentum sudut memberikan,
ΔL = 0
L₁ = L₂
I₁ω₁ + I₂ω₂ – (I₁ + I₂)ω = 0
½m₁r₁²ω₁ + ½ m₂r₂²ω₂ - ½ (m₁r₁² + m₂r₂²)ω = 0
½ (2 kg)(0.2 m)²(50 rad/s) + ½ (4 kg)(0.1 m)²(200 rad/s) – ½ ((2 kg)(0.2 m)² + (4 kg)(0.1 m)²)ω = 0
ω = 100 rad/s

Soal 7
Piringan 1 mempunyai massa 440 g, jejari 3,5 cm dan berotasi ω0 = 180 rpm terhadap as yang licin sempurna dan jejari dapat diabaikan. Pada mulanya piringan 2 yang massanya 270 g dan jejari 2,3 cm tidak berotasi, tetapi kemudian jatuh bebas di atas piringan di bawahnya, dan akibat gesekan, keduanya bergerak dengan kecepatan sudut yang sama dengan kecepatan sudut ω, energi kinetik yang hilang akibat gesekan adalah . . . .

A. 52%

B. 47%
C. 32%
D. 21%
E. 17%

Jawab: D
Momen inersia piringan 1,
I₁ = ½m₁r₁² = ½ (0,44 kg)(3,5 x 10^-2)² = 2,695 x 10^-4 kgm² 

Momen inersia piringan 2,
I₂ = ½m₂r₂² = ½ (0,27 kg)(2,3 x 10^-2)² = 0,714 x 10^-4 kgm²

Momentum awal sebelum kedua piringan bersatu,
L_awal = I₁ω₁ + I₂ω₂ = 2,695 x 10^-4 kgm² x 180 x 2π rad/60 s + 0 = 5,08 x 10^-3 kgm²/s

Momentum akhir (kedua piringan bersatu),
L_akhir = (I₁+ I₂)ω = (2,695 x 10^-4 kgm² + 0,714 x 10^-4 kgm²)ω = 3,409 x 10^-4 kgm² x ω

Hukum kekekalan momentum sudut memberikan,
L_awal = L_akhir
5,08 x 10^-3 kgm²/s = 3,409 x 10^-4 kgm² x ω
ω = 14,9 rad/s

Energi kinetik awal,
EK_awal = ½ I₁ω₀² = ½(2,695 x 10^-4 kgm²)(180 x 2π rad/60 s)² = 478,77 J x 10^-4 J

Energi kinetik akhir,
EK akhir = ½ (I₁ + I₂)ω²
EK akhir = ½(2,695 x 10^-4 kgm² + 0,714 x 10^-4 kgm²)(14,9 rad/s)² = 378,42 x 10^-4 J

Perubahan energi kinetik rotasi kedua roda,
ΔEK = EK_akhir – EK_awal = –100,35 x 10^-4 J (energi yang hilang)
Dalam %,
Energi yang hilang = (ΔEK/EK_awal) x 100% ≈ 21%