Soal kesetimbangan benda tegar dan penyelesaiannya

Soal 1
Dua kabel digunakan untuk menopang massa 9,0 kg pada batang horisontal dengan panjang 2,1 m dan massa 21 kg seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini! Tentukan tegangan tali T!

Solusi:

Gambar gaya-gaya yang bekerja pada batang ditunjukkan pada gambar di bawah ini
Dengan mengambil poros sistem di titik O (ujung kiri batang), maka
Στ_O = 0
T(2,1 m) – (90 N)(1,05 m) – (210 N)(1,2 m) = 0
T(2,1 m) = 94,5 Nm + 252 Nm = 346,5 Nm
T = 165 N

Soal 2
Salah satu ujung sebuah tongkat homogen (massa m dan panjang tali L), tergantung dengan menggunakan tali dan ujung tongkat lainnya bersentuhan dengan lantai dalam keadaan diam. Tongkat tersebut membentuk sudut θ terhadap horisontal. Tentukan gaya tegangan tali!

Solusi:

Ambil poros di titik A, maka gaya normal pada A (N_A) tidak menyebabkan torsi. Sehingga hanya gaya berat tongkat w, dan gaya tegangan tali T yang menyebabkan torsi pada A. Lengan momen untuk masing-masing gaya diukur dari poros A adalah

Gaya w, lengan momennya à AC’ = ½ L cos θ
Gaya T, lengan momennya à AB’ = L cos θ
Maka resultan momen gaya pada titik A adalah
Στ_A = 0
(w x ½ L cos θ) – (T x L cos θ) = 0
T = ½mg

Soal 3
Batang homogen bermassa m diikat dengan tali A dan B setimbang pada posisi seperti pada gambar di bawah ini, dengan tali B horisontal. Tentukan nilai tan θ.

Jawab:
Ambil poros di titik P, maka gaya tegangan tali pada P (T_A) tidak menyebabkan torsi. Sehingga hanya gaya berat tongkat w, dan gaya tegangan tali T yang menyebabkan torsi pada A. Lengan momen untuk masing-masing gaya diukur dari poros A adalah

→ resultan gaya-gaya pada sumbu-x
ΣF_x = 0
T_B – T_A sin θ = 0 à T_B =  T_A sin θ                  (1)

→ resultan gaya-gaya pada sumbu-y
ΣF_y = 0
T_A cos θ – w = 0 à w = T_A cos θ                  (2)

→ rotasi terhadap titik P
Poros di titik P, maka resultan momen gaya pada P adalah
Στ_P = 0
T_B x PP’ + (– w x QR’) = 0
T_B L sin α + (– w x ½ L cos α) = 0
T_B = ½ w cot α                  (3)

Bagi persamaan (1) dan (2) kita peroleh
(T_A sin θ)/(T_A cos θ) = T_B/w
tan θ = T_B/w                      (4)
Subtitusi (3) ke (4) kita peroleh
tan θ = (½ w cot α)/w
tan θ = ½ cot α
karena nilai cot α = 30 cm /20 cm = 3/2, maka
tan θ = 3/4

Soal 4
Sebuah batang homogen dengan berat W digantung pada dua utas tali yang massanya diabaikan seperti terlihat pada gambar di bawah ini! Tentukan pusat massa batang (pusat gravitasi) d dari ujung kiri batang!

Jawab:

panjang batang, l = 2 m
T₁ dan T₂ adalah gaya tegangan tali yang dihasilkan akibat berat batang.
Keseimbangan statis memberikan:
T₁ Sin 36.9⁰ = T₂ Sin 53.1⁰
T₁ / T₂ = 4 / 3
⇒ T₁ = (4/3) T₂

Untuk keseimbangan rotasi dengan poros di pusat berat batang:
T₁ (Cos 36.9) × d = T₂ Cos 53.1 (2 - d)
T₁ × 0.800 d = T₂ × 0.600 (2 - d)
(4/3) × T₂ × 0.800d = T₂ (0.600 × 2 - 0.600d)
1.067d + 0.6d = 1.2
∴ d = 1.2 / 1.67
= 0.72 m
oleh karena itu pusat gravitasi dari batang 0,72 m dari ujung kiri batang.