Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Widget Atas Posting

Soal dan penyelesaian Gerak Harmonik sederhana

Soal 1
Suatu benda berosilasi dengan Gerak Harmonik sederhana sepanjang sumbu y. Seiring waktu posisinya berubah-ubah sesuai persamaan
y = (4,00 cm) cos (2πt + π/4)
di mana t dalam detik dan sudut-sudutnya menggunakan satuan radian. (a) Tentukan amplitudo, kecepatan sudut, frekuensi dan priode geraknya, (b) Hitung kecepatan dan percepatan benda pada saat t, (c) Tentukan kecepatan dan percepatan benda pada saat t = 1/8 s, (d) Tentukan kelajuan maksimum dan percepatan maksimumnya dan (e) Tentukan posisi benda antara t = 0 dan t = 1/8  s

Solusi:
Persamaan GHS, y = (4,00 cm) cos (2πt + π/4), maka
(a) Amplitudo, A = 4,00 cm
(b) Kecepatan ghs, vy = dy/dt = (4,00 cm x 2π) [- sin (2πt + π/4)] = – 8π sin (2πt + π/4) cm/s
Percepatan ghs, ay = d2y/dt2 = dvy/dt = ( 8π x 2π) cos (2πt + π/4) = – 16π2 cos (2πt + π/4) cm/s2
(c) Pada t = 1/8 dtk,
⇒ vy = – 8π sin (2πt + π/4) cm/s = 8π sin [2π x (1/8) + π/4] cm/s = – 8π cm/s
⇒ay = – 16π2 cos (2πt + π/4) = – 16π2 cos [2π x (1/8) + π/4] cm/s2 = 0
(d)Kelajuan maksimum dan kecepatan maksimumnya adalah (lihat b)
vmaks =  – 8π cm/s dan amaks = – 16π2 cm/s2
(e) Pada t = 0, y = (4,00 cm) cos (2π x 0 + π/4) = 4,00 cm
Pada t = 1/8 s, y = (4,00 cm) cos (2πt + π/4) =  (4,00 cm )sin [2π x (1/8) + π/4] cm = 0

Soal 2
Sebuah benda menempuh gerak harmonik sederhana dengan amplitudo A dan periode T. (a) berapakah waktu minimum yang diperlukan benda agar simpangannya sama dengan setengah amplitudonya?, (b) berapakah simpangannya ketika kecepatannya setengah dari kecepatan maksimumnya?

Solusi
(a) Persamaan simpangan adalah x = A sin θ dengan θ = ωt + θ0. Simpangan = setengah amplitudo, artinya
x = A sin θ = ½ A
sin θ = ½ dan θ = π/6
karena tidak diketahui, maka anggap sudut fase awal θ0 = 0, maka
θ = ωt = π/6
(2π/T) = π/6
t = (π/6)(T/2π) = T/12

(b) kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi posisi. Karena posisi x = A sin (ωt + θ0), maka
v = dx/dt = Aω cos (ωt + θ0)
dengan vmaks = ωA
diberikan v = vmaks/2, maka
Aω cos (ωt + θ0) = ωA/2
cos (ωt + θ0) = ½
dari rumus trigonometri sin2x + cos2x = 1, maka

Jadi simpangan x adalah

Soal 3

Diagram di bawah menunjukkan gerakan massa 2,00 kg pada pegas horizontal. (a) Menggambar lingkaran referensi. (b) Cari fase konstan, (c) Tuliskan persamaan perpindahan sebagai fungsi waktu, (d) berapa konstanta pegas? (e) Berapa totalnya energi? (f) Berapa kecepatan maksimum? (g) Berapakah percepatan maksimum? (h) Kapan tepatnya massa berada di titik setimbang dan bergerak ke kanan? (i) Kapan tepatnya massa akan berada di titik C?

Solusi:
Memeriksa grafik kita melihat bahwa perpindahan terbesar adalah 10 cm, sehingga A = 0,10 m. Kita juga melihat bahwa gerakan berulang setiap 0,2 detik, sehingga T = 0,2 s. frekuensi sudut berkaitan dengan periode dengan ω = 2π/T, sehingga ω = 10π rad/s.

(a) Pada t = 0, kita dapat membaca dari sisi grafik yaitu x = 7,5 cm = 0,075 m. Posisi negatif X menempatkan benda di baik kuadran II atau III dari lingkaran. Untuk menentukan kuadran yang benar, perhatikan bahwa pada saat t meningkat kurva melewati titik nol (titik seimbang), diberi label titik A pada diagram, dan itu bergerak dari negatif ke posisi positif sehingga pindah ke kanan. Ini adalah perilaku partikel pada kuadran III, sehingga lingkaran referensi terlihat seperti di bawah ini



(b) Kita bisa mengambil persamaan umum, x = Acos (ωt + φ0) dan mengganti t = 0 untuk menemukan φ0, yaitu- 0,075 = 0,10 cos (0 + φ0)cos φ0 = – 0,075φ0 = cos-1(-0,075)Pemecahan hasil φ0 = 138,6 ° (2,419 rad) atau φ0 = 221,4 ° (3,864 rad). Jawaban kedua adalah di kuadran  ketiga dan dengan demikian φ0 = 221,4 ° (3,864 rad) 
(c) persamaan perpindahan sebagai fungsi waktu adalah sebagai x = Acos (ωt + φ0) = (0,10 m) cos (10πt + 3,864) 
(d) konstanta pegas, ω2 = k/m, maka k = mω2 = (2 kg)(10π rad/s) = 1974 N/m
(e) energi total ghs adalah E = ½ kA2 = ½ (1974 N/m)(0,1 m)2 = 9,870 J 
(f) kecepatan maksimum, vmaks = ωA = (10π rad/s)(0,1 m) = π m/s
(g) percepatan maksimum, amaks = -ω2A = -(10π rad/s)2(0,1 m) = 9870 m/s2 
(h) Untuk menentukan ketika benda bergerak ke kanan pada kesetimbangan (berlabel A di xt  diberikan grafik), ditunjuk pada titik 3 pada lingkaran referensi yang diberikan di atas. Jadi benda memutar 270 ° dari 221,4 °. Sejak berputar 360 ° mengambil satu periode yang di sini adalah 0,2 s, tA = 48,6 / 360 × 0,2 s = 0,027 s.
(i) Titik C dalam diagram terjadi pada titik 1 pada lingkaran referensi tetapi perhatikan bahwa titik C lebih dari satu periode T dari t = 0. Kita perlu menghitung waktu untuk memutar ke titik 1 tapi kemudian menambahkan satu periode. Sudut memutar melalui 360 ° – 221,4 ° = 138,6 °. Jadi tC = 138,6/360 × 0,2 s + 0,2 s = 0,277 s

Soal 4 
Dua persamaan GHS yaitu x = a sin (ωt – α) dan y = b cos (ωt – α). Tentukan beda fase antara keduanya!

Solusi:
x = a sin (ωt – α) dan y = b cos (ωt – α) = b sin (ωt – α + π/2),
maka beda fase antara keduanya adalah (ωt – α + π/2) – ((ωt – α ) = 900


Post a Comment for "Soal dan penyelesaian Gerak Harmonik sederhana"