Soal Kontinuitas dan Pembahasannya

Soal 1
Air mengalir dari pipa yang berjari-jari 3 cm dan keluar melalui sebuah keran yang berjari-jari 1,0 cm. Jika kecepatan air yang keluar dari keran 3 m/s, berapakah kecepatan air dalam pipa?

Jawab:

Diketahui r₁ = 3 cm, r₂ = 1 cm, kecepatan air yang keluar dari keran v₂ = 3 m/s, maka kecepatan air dalam pipa adalah
v₁A₁ = v₂A₂
v₁(πr₁²) = v₂(πr₁²)
v₁r₁² = v₂r₁²
v₁(3)² = (3)(1)²
v₁ = 1/3 m.s^-1 (kecepatan air dalam pipa)

Soal 2
Air mengalir dengan kecepatan 2 m/s melalui sebuah selang yang diematernya 3 cm. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk mengisi sebuah bak air berbentuk silinder dengan jari-jari 2 m sampai setinggi 1,0 m?

Jawab:
Diketahui kecepatan air yang keluar dari selang v₁ = 2 m/s dan diameternya d₁ = 3,5 cm = 3,5 x 10^-2 m, jari-jari bak mandi r₂ = 3,5 m dan tinggi bak mandi t = 1,0 m maka volume bak,
V = A_bakt_bak = πr²t = 3.14 x (3,5)²(1,0) = 38,5 m³
Soal ini dapat kita selesaikan dengan menggunakan konsep
Q = Av dengan Q = debit air, v = kecepatan aliran fluida dari selang dan
A = luas penampang selang = ¼ πd² = ¼ x 3,14 x (3,5 x 10^-2)² = 9,625 x 10^‑4 m²
Debit juga didefinisikan sebagai Q = Volume/waktu = V/t, maka
V/t = Av
(38,5)/t = (9,625 x 10^‑4)(2)
t = 38,5/(19,25 x 10^-4) = 2 x 10⁴ s
t = 333,3 menit = 5,56 jam

Soal 3
Sebuah pipa memiliki dua penampang yang berbeda, yaitu penampang A sebesar 4 x 10^-4 m² dan penampang B sebesar 1 x 10^-4 m². Pipa tersebut terletak mendatar dan penuh berisi air, dan diketahui kecepatan air di pipa A sama dengan 0,20 m/s. (a) Berapakah kecepatan air di B dan (b) berapakah debit air di A dan B?
Jawab:
(a) Diketahui luas penampang pipa A dan B adalah A_A = 4 x 10^-4 m² dan A_B = 1 x 10^-4 m²
Kecepatan air pada pipa A adalah v_A = 0,2 m/s.
Kita menggunakan persamaan kontinuitas yaitu
v_AA_A = v_BA_B
(0,2)( 4 x 10^-4) = v_B(1 x 10^-4)
v_B = 0,8 m/s
(b) debit air yang mengalir pada kedua penampang pipa sama besar yaitu
Q = vA = v_AA_A = v_BA_B = (0,2)( 4 x 10^-4) = 8 x 10^-5 m³/s

Soal 4
Darah dalam tubuh manusia (ρ = 1055 kg/m³) mengalir melalui aorta dengan kecepatan rata-rata 30 cm/s. Luas penampang aorta 2,0 x 10^-4 m². (a) Hitung aliran volume dan aliran massa darah dalam aorta dan (b) aorta memiliki lubang-lubang yang jumlahnya puluhan ribu pembuluh yang lebih sempit yang memiliki luas penampang total kira-kira 0,28 m². Berapa kecepatan rata-rata aliran darah dalam cabang-cabang aorta ini?

Jawab:
Diketahui massa jenis darah ρ = 1055 kg/m³ dengan kecepatan v = 30 cm/s = 0,3 m/s, luas penampang aorta A = 2,0 x 10^-4 m².
(a) aliran volume darah = debit darah yang mengalir adalah
Q = V/t = Av = (2,0 x 10^-4)(0,3) = 6,0 x 10^-5 m³/s
Aliran massa (m/t) dalam darah adalah
V/t = 6,0 x 10^-5 m³/s
m/ρt = 6,0 x 10^-5 m³/s
m/t = 6,0 x 10^-5 x 1055 = 6,33 x 10^-2 kg/s
(b) total pembuluh aorta, n = 0,28/(2,0 x 10^-4) = 1400 pembuluh aorta
Maka kecepatan rata-rata untuk cabang-cabang aorta adalah
v = 0,3/1400 = 2,14 x 10^-4 m/s

Soal 5
Misalnya banyaknya air yang keluar dari sebuah keran di dapur adalah 500 cm³ dalam waktu 2,5 detik. Diameter ujung keran tempat air keluar adalah 1,2 cm. (a) Berapakah kecepatan air yang keluar dari keran?, (b) berapakah kecepatan air ketika berada 20 cm dari ujung keran? Dan (c) hitung diameter pancaran air ketika berada pada jarak tertentu.

Jawab:
Diketahui volume air yang keluar dari keran V = 500 cm³ = 500 x 10^-6 m³, diameter ujung keran d = 1,2 cm = 1,2 x 10^-2 m dan waktu t = 2,5 air yang keluar dari keran.
(a) kecepatan air yang keluar dari keran kita gunakan rumus debit yaitu
Q = V/t = Av
(500 x 10^-6)/(2,5) = ¼ x 3,14 x (1,2 x 10^-2)²v
200 x 10^-6 = 1,13 x 10^-4 v
v = 1,77 m/s
(b) ketika air turun sejauh h = 20 cm kecepatannya kita peroleh dengan
v² = v₀² + 2gh = (1,77)² + 2(10)(0,2)
v = 2,67 m/s
(c) diameter air saat berada pada 0,2 cm dari ujung pipa adalah
V/t = Av
(500 x 10^-6)/(2,5) = ¼ x 3,14 x (d)²(2,671)
2 x 10^-4/2,0967 = d²
d  = 9,766 x 10^-3 m
d = 9,77 mm = 0,977 cm