Soal Ketidakpastian dalam Pengukuran dan Pembahasannya

Soal 1
Sebuah gaya F dikerjakan pada sebuah keping persegi dengan panjang sisi L. jika kesalahan relatif dalam menentukan L adalah 2 persen dan untuk F adalah 4 persen. Kesalahan relatif dalam menentukan tekanan adalah . . . .
A. 10%
B. 8%
C. 6%
D. 4%
E. 2%

Jawab:
Diketahui Kesalahan relatif (KR) untuk mengukur L (panjang) = 2% dan kesalahan relatif untuk mengukur gaya F = 4%.
Hubungan tekanan dengan gaya (F) dan panjang (L) adalah
P = F/A = F/L² = F.L^­-2, maka
ΔP/P₀ = ΔF/F₀ + 2ΔL/L₀  atau
KR P = KR F + KR L
KR P = 4% + 2 x 2% = 8%

Soal 2
Empat resistor dihubungkan secara seri nilai masing masing resistor berturut turut adalah (28,4 ± 0,1) Ω; (4,25 ± 0,01) Ω; (56,605 ± 0,001) Ω dan (90,75 ± 0,01) Ω. Tentukan hambatan total berikut ketidapastiannya.

Jawab:
Diketahui: R₁ = (28,4 ± 0,1) Ω; R₁₀ = 28,4 Ω; ΔR₁ = 0,1 Ω
                     R₂ = (4,25 ± 0,01) Ω; R₁₀ = 4,25 Ω; ΔR₁ = 0,01 Ω
                     R₃ = (56,605 ± 0,001) Ω; R₁₀ = 56,605 Ω; ΔR₁ = 0,001 Ω
                     R₄ = (90,75 ± 0,01) Ω; R₁₀ = 90,75 Ω; ΔR₁ = 0,01 Ω
Ada empat resistor dipasang seri, resistor ekivalennya dapat kita peroleh dari
R₀ = R₁ + R₂ + R₃ + R₄
     = 28,4 + 4,25 + 56,605 + 90,75 = 180,005 Ω
Dan ketidakpastian mutlaknya adalah
ΔR = ΔR₁ + ΔR₂ + ΔR₃ + ΔR₄
      = 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,01 = 0,121 Ω
Dan ketidakpastian relatifnya adalah
KR = ΔR/R₀ x 100% = (0,121/180,005) x 100% = 0,067%  (berhak atas 4 angka)
Maka resistor ekivalennya adalah
R₀ ± ΔR = (180,0 ± 0,1) Ω 

Soal 3
Suatu benda dijatuhkan dari sebuah menara dengan selang waktu untuk tiba di tanah adalah t = (3,0 ± 0,1) s. Jika percepatan gravitasi g diambil 10 m/s², ketinggian menara di tanah dilaporkan sebagai . . . .(h = ½ gt²)
A. (45,0 ± 0,1) m
B. (45,0 ± 0,3) m
C. (45,0 ± 0,5) m
D. (45 ± 1) m
E. (45 ± 3) m

Jawab:
Diketahui t = (3,0 ± 0,1) s artinya t₀ = 3,0 s; Δt = 0,1 s.
Dengan menggunakan rumus h = ½ gt² kita peroleh
h₀ = ½ gt₀² = ½ (10)(3,0)² = 45 m
ketidakpastian mutlak h dapat kita peroleh dari
Δh/h₀  = 2 x 0,1/3,0 = 0,0667
Δh/45 = 0,0667
Δh = 3 m
dan ketidakpastian relatif h dapat kita peroleh dari
Δh/h₀ = 2Δt/t₀
Δh/h₀  = 2 x 0,1/3,0 = 0,0667
(Δh/h₀) 100%  = KR h = 2 x 0,1/3,0 x 100% = 6,67%
KR h LEBIH BESAR mendekati 10% maka laporan h berhak atas 2 angka
Maka h harus dilaporkan sebagai
h ± Δh = (45 ± 3) m

Soal 4
Besar percepatan jatuh bebas g ditentukan dengan mengukur periode osilasi T dari sebuah bandul sederhana dengan panjang L. Hubungan antara T, L dan g adalah
T = 2π(L/g)^1/2
Dalam eksperimen, diperoleh hasil pengukuran L sebagai (0,55 ± 0,02) m dan T sebagai (1,50 ± 0,02) s. Ketidakpastian relatif dari percepatan g adalah . . . .
A. 5,0%
B. 6,3%
C. 7,5%
D. 8,6%
E. 9,0%

Jawab:
Diketahui L = (0,55 ± 0,02) m, artinya L₀ = 0,55 m; ΔL = 0,02 m dan
    T = (1,50 ± 0,02) s, artinya T₀ = 1,50 s; ΔT = 0,02 s
Rumus periode dapat ditulis ulang menjadi
g = 4π²LT^-2
maka ketidakpastian relatif dari g adalah
Δg/g₀ = ΔL/L₀ + 2(ΔT/T₀)
Δg/g₀ x 100% = [ΔL/L₀+ 2(ΔT/T₀] 100%
KR g = (0,02/0,55) 100% + 2 x (0,02/1,50) 100% = 6,3%

Soal 5
Diameter sebuah bola logam kecil yang diukur dengan jangka sorong memberikan = (10,00 ± 0,05)mm: (a) berapa ketidakpastian relatif volume bola tersebut? (dalam %), (b) dengan memperhatikan % ketidakpastian relatif kecil yang diperoleh dari (a), berapa banyak angka penting yang dapat dituliskan pada volume bola tersebut? (ambil π = 3,14285).

Jawab:
Diameter bola logam tersebut adalah d = (10,00 ± 0,05) mm, d₀ = 10,00 mm dan Δd = 0,05 mm.
Volume bola dapat diperoleh dengan menggunakan rumus
V = 4πr³/3 = πd³/6
(a) volume bola tersebut adalah
V₀ = πd₀³/6 = (3,14285)(10,00)³/6 = 523,8083 mm³
Ketidakpastian mutlak volume tersebut adalah
ΔV/V₀ = 3Δd/d₀ = 3 x (0,05/10) = 0,015
Maka ketidakpastian relatif volume adalah
ΔV/V₀ x 100% = KR V = 0,015 x 100% = 1,5%
(b) dari (a) kita peroleh
ΔV/V₀ = 0,015 maka
ΔV/523,8083 = 0,015
ΔV = 7,8571 mm³
dan karena KR = 1,5%, volume bola tersebut dilaporkan dalam 3 angka, yaitu
V₀ ± ΔV = (523,8083 mm³ ± 7,8571 mm³)
V₀ ± ΔV = (524 ± 8) mm³  

Soal 6
Tetapan gaya (k) sebuah pegas hendak ditentukan dengan percobaan getaran pegas, yang periodenya dirumuskan oleh T = 2π(m/k)^1/2 . Pengukuran pegas menghasilkan T = (0,0825 + 0,0025) s dan pengukuran massa memberikan m = (15,02 + 0,05) kg.
a) Tentukan ketidakpastian relatif k (dalam %)
b) Tentukan k berikut ketidakpastiannya (dalam N/m)

Jawab:
Diketahui m = (15,02 + 0,05) kg, artinya m₀ = 15,02 kg; Δm = 0,05 kg dan
    T = (0,0825 + 0,0025) s, artinya T₀ = 0,0825 s; ΔT = 0,0025 s
(a) Rumus periode dapat ditulis ulang menjadi
k = 4π²mT^-2
maka ketidakpastian relatif dari g adalah
Δk/k₀ = Δm/m₀ + 2(ΔT/T₀)
Δk/k₀ x 100% = [Δm/m₀+ 2(ΔT/T₀] 100%
KR k = (0,05/15,02) 100% + 2 x (0,0025/0,0825) 100% = 6,393%
(b) konstanta pegas adalah
k₀ = 4π²m₀T₀^-2
    = 4π²(15,02)(0,0825)^-2
k₀ = 87120,783 N/m
ketidakpastian mutlak konstanta pegas
Δk/k₀ = 0,06393
Δk/(87120,783) = 0,06393
Δk = 5569,631 N/m
Karena KR = 6,393% maka laporan dalam 2 angka
k₀ ± Δk = (87120,783 N/m ± 5569,631 N/m)
maka dengan menggunakan notasi ilmiah kita dapat melaporkan k dalam 2 angka yaitu
k₀ ± Δk = (8,7120783 x 10⁴ ± 0,5569631 x 10⁴) N/m
k₀ ± Δk = (8,7 ± 0,6) x 10⁴ N/m