Soal Parabola

Soal 1: Sebuah benda diluncurkan dengan kecepatan 20 m/s dalam arah membuat sudut 30⁰° ke atas dengan horizontal.

(a) Berapakah tinggi maksimum yang dicapai oleh objek?

(b) Berapa waktu penerbangan Total (antara peluncuran dan menyentuh tanah) dari objek?

(c) Berapa kisaran horisontal (x maksimum di atas tanah) dari objek?

(d) Apa besarnya kecepatan benda sebelum menyentuh tanah?

Jawab:

a) Rumus untuk komponen  Vx dan komponen v_y adalah komponen kecepatan x dan y dari perpindahan diberikan oleh

v_x = v₀ cos θ dan  v_y = v₀ sin θ  - g t

x = v₀ cos θ x t dan  y = (v₀ sin θ)t- (1/2)gt²

Dalam masalah v₀ = 20 m/s, θ = 30° dan g = 10 m/s².

(b) Ketinggian proyektil diberikan oleh komponen y, dan mencapai nilai maksimumnya bila komponen v_y adalah sama dengan nol, sehingga

v_y = v₀ sin θ - gt = 0

pecahkan ini untuk t

t = v₀ sin θ/g = (20 m/s) sin (30°)/10 = 1,0 detik

Cari ketinggian maksimum dengan menggantikan t = 1,0 detik dalam rumus untuk y

ketinggian maksimum y (t = 1s) = 20 sin (30°)(1,0 s) - (1/2)(10 m/s²)(1,0 s)² = 5,0 meter

c) waktu ketika menyentuh tanah kembali adalah ketika y = 0, maka

0  = (20 m/s sin 30⁰)t- (1/2)(10 m/s²)t²

0 = 2t – t²

0 = t(1 – t)

t = 0 atau t = 2 s

jadi saat t = 0 s benda masih di tanah dan saat t = 2 s benda menyentuh tanah lagi.

c) Jarak horisontal yang ditempuh benda ketika sampai di tanah lagi dengan waktu t = 2 s adalah

x = (20 m/s) cos 30⁰ x (2,0 s) = 20√3 m

d) Objek menyentuh tanah pada t = 2,0 s

Komponen kecepatan pada t diberikan oleh

v_x = v₀ cos θ dan v_y = v₀ sin θ – gt

maka pada t = 2,0 s,

v_x = 20 m/s cos 30⁰ = 10√3 m/s dan

v_y = 20 m/s sin 30⁰ – (10 m/s)(2,0 s) = – 10 m/s

maka kecepatan saat menyentuh tanah adalah 20 m/s

Soal 2
Sebuah peluru dilontarkan dari sebuah bukit yang tingginya adalah h = 10 m dengan kelajuan awal v₀ = 10 m/s. Jika percepatan gravitasi bumi adalah 10 m/s² , sudut yang terbentuk antara arah lemparan peluru dengan arah horizontal adalah 30^o dan gesekan peluru dengan udara diabaikan. Tentukan : a) Waktu yang diperlukan peluru untuk menyentuh tanah dan b) Jarak mendatar yang dicapai peluru, (c) ketinggian maksimum bola diukur dari permukaan tanah, (d) sudut yang dibentuk oleh kecepatan peluru ketika peluru menumbuk tanah dan (e) kecepatan peluru saat menyentuh tanah!

 Jawab:
Dari soal diketahui
V_0x = v₀ cos 30⁰ = 10 x ½√3 = 5√3 m/s
V_0y = v₀ sin 30⁰ = 10 x ½= 5 m/s
Kita pilih titik asal (0,0) berada di permukaan tanah, tepat di dinding tebing, sehingga ketinggian awal peluru y₀ = 10 m.
Pada sumbu x berlaku persamaan
                                                X = v_0xt = 5√3t m/s
Pada sumbu y berlaku persamaan
y = y₀ + v_0yt – ½ gt²
y = 10 + 5t – 5t²

(a) Total waktu peluru berada di udara sama dengan total waktu yang ditempuh peluru untuk mencapai ketinggian y = 0 (peluru kembali ke tanah)

y = 10 + 5t – 5t²
0  = 10 + 5t – 5t² à t² – t – 2 = 0
Ini merupakan persamaan kuadrat, yang jika kita selesaikan atau kita cari akar-akarnya diperoleh hasil t = 2 detik dan t = - 1 detik. Karena waktu tidak mungkin bernilai negative maka nilai t yang kita gunakan adalah t = 2 detik. Jadi, waktu peluru mencapai tanah 2 detik.

(a) Dengan menggunakan t = 2 detik, kita peroleh

X = v_0xt = 5√3t m/s
X = 5√3 x 2 = 10√3 m
Jadi, peluru mengenai lantai pada jarak 10√3 m dari tepi tebing.

(c) Ketinggian maksimum terjadi saat v_y = 0, dan dengan menggunakan rumus

y = v₀² sin² Ө/2g = (10)² sin² 30⁰/2.10 = 1,25 m
maka ketinggian maksimum yang dicapai bola dihitung dari tanah adalah 1,25 m + 10 m = 11,25 m

(d) Ketika menumbuk tanah, komponen kecepatan dalam sumbu x sama dengan

v_x = v_0x = 5√3 m/s
sedangkan, komponen kecepatan dalam sumbu y sama dengan v_y­ dengan
v_y = v_0y – gt
nilai t yang kita masukkan adalah t pada saat bola mencapai tanah yaitu t = 2 detik. Maka,
v_y = 10 – (10)(2) = - 10 m.s^-1
tanda minus menunjukkan bahwa kecepatan bola dalam sumbu y berarah ke bawah. Besar sudut α adalah
                tan α = v_y/v_x = - 10/10 = - 1 à α = 45⁰ di bawah sumbu x

(e) Kecepatan bola pada saat menyentuh tanag dapat dihitung dengan

v = (v_x² + v_y²)^1/2 = ((5√3)² + (-10)²)^1/2 = 5√13 m/s

Soal 3
Sebuah proyektil ditembakan dengan kecepatan horisontal 330 m/s dari puncak sebuah tebing yang tingginya 80 m seperti pada gambar. (a) Berapa lama proyektil menyentuh tanah di dasar tebing, (b) berapa jauh dari dasar tebing? (c) berapa kecepatan proyektil ketika menyentuh tanah.

 Jawab:
Projektil bergerak dari tebing yang tingginya y₀ = 80 m dengan kecepatan v_0x = 330 m/s, v_0y = 0,

(a) lama proyektil menyentuh tanah di dasar tebing,

Untuk menentukan waktu projektil sampai ke tanah kita gunakan
        y = y₀ + v_0yt + ½ gt²
        0 = 80 + 0.t + 5t²
        t = √16 = 4 sekon
Jadi, projectile menyentuh tanah setelah bergerak selama 4 sekon

(b) Berapa jauh dari dasar tebing?

X = v_0xt = 330 m/s x 4 sekon = 1320 m

(c) kecepatan proyektil ketika menyentuh tanah.

v_0x = 330 m/s
Kecepatan projectile pada sumbu y saat ketika menyentuh tanah adalah
v_y = v_0y – gt = 0 – (10 m/s²)(2 s) = - 20 m/s
maka kecepatan projectile saat menyentuh tanah adalah
v = (v_x² + v_y²)^1/2 = ((330)² + (-20)²)^1/2 = 330,6 m/s

Soal 4
Cristiano Ronaldo harus menendang bola sepak dari suatu titik 36,0 m dari gawang, dan setengah dari jumlah penonton berharap bola tersebut akan melebihi palang setinggi 2,44 m. Saat ditendang, bola meninggalkan tanah dengan kelajuan 20,0 m/s dengan sudut 53,0⁰ terhadap sumbu horizontal. (a) Seberapa jauh bola mampu melebihi atau tidak mampu melebihi palang? (b) apakah bola mendekati palang ketika ia sedang naik atau sedang turun?

Jawab:
Diketahui: X = 36,0 m, y = 3,0 m, v₀ = 20,0 m/s; Ө = 53⁰. Maka; v_0x = v₀ cos 53⁰ = 16 m/s, v_0y = v₀ sin 53⁰ = 12 m/s.

(a) Seberapa jauh bola mampu melebihi atau tidak mampu melebihi palang?

untuk memperoleh waktu bola tiba di gawang kita menggunakan persamaan
X = v_0xt
36,0 m = 16t à t = 2,25 sekon
Maka dengan menggunakan y = y₀ + v₀t – ½ gt² kita peroleh ketinggian bola melewati gawang yaitu
y = 0 + 12 m/s x 2,25 s – 5(2,25 s)² = 1,69 m

(b) Karena tinggi gawang sekitar 2,44 m maka dari bagian (a) disimpulkan bola mendekati gawang ketika turun.

Soal 5:
Sebuah bola ditendang dengan sudut 35° dengan tanah.  Tentuakan : a) waktu untuk bola untuk mencapai target? Dan b) besar kecepatan awal bola sehingga dapat mengenai target 30 meter dan pada  ketinggian 1,8 meter?

 Jawab:
(a) Persamaan parabola pada sumbu x adalah
x = v₀ cos(35°) t
30 = v₀ cos(35°) t
t = 30 /v₀ cos(35°)
t = x / V₀ cos(35°) = 2.0

b) persamaan parabola pada sumbu y adalah
1.8 = -(1/2)(9.8 m/s²)(30/v₀ cos(35°))² + v₀ sin(35°)(30/V₀ cos(35°))
V₀ cos(35°) = 30 x [ 9.8 / 2(30 tan(35°)-1.8) ]
V₀ = 18.3 m/s

Soal 6:
Dua proyektile ditembakkan dari titik P secera bersama dengan kelajuan berbeda dan membentur dinding pada saat yang sama. Lintasan dan sudut masing-masing proyektile seperti pada gambar. Tentukan sudut α!

Solusi:
Misalkan proyektile yang bergerak pada sudut 60⁰ memiliki kecepatan awal u dan proyektile yang sudutnya 30⁰ bergerak dengan kecepatan awal v, maka
Untuk proyektil 60⁰:
u_x = u cos 60⁰ = ½ u dan u_y = u sin 60⁰ = u√3/2
x₁ = u_xt = ½ ut
y₁ = u_yt – ½ gt² = (u√3/2)t – 5t²
Untuk proyektil 30⁰:
v_x = v cos 30⁰ = v√3/2 dan v_y = u sin 30⁰ = v/2
x₂ = v_xt = (v√3/2)t
y₂ = v_yt – ½ gt² = (v/2)t – 5t²; y₂ = 0, maka t = v/10
dari gambar diketahui bahwa:
x₁ = x₂
½ ut = (v√3/2)t atau u = v√3
Sehingga dari persamaan
y₁ = (u√3/2)t – 5t² = (v√3. √3/2)(v/10) – 5(v/10)² = v²/10
x₁ = ½ ut = ½ (v√3)(v/10) = v²√3/20
besar sudut α kita pakai perbandingan trigonometri tangent, maka
tan α = y/x = y₁/x₁ = (v²/10)/(v²√3/20/10) = 2/√3
α = tan^-1(2/√3) = 0,86⁰

Soal 7
Sebuah batu dilempar dari tebing setinggi 30 m dengan kecepatan 20 m/s berarah 30⁰ terhadap seperti gambar.

Baru mendarat di tebing lain setinggi h setelah 3 s. Jika x adalah jarak antara posisi melempar dengan posisi mendarat maka tentukan perbandingan h dan x!

Jawab:
Kecepatan awal batu v₀ = 20 m/s, maka v_0x = v₀ cos 30⁰ = 10√3 m/s; v_0y = v₀ sin 30⁰ = 10 m/s, t = 3 s, y₀ = 30 m dan y = h.
Jangkauan bola adalah
X = v_0xt = (10√3 m/s)(3 s) = 30√3 m/s
Ketinggian h kita peroleh dari
y = y₀ + v_0yt – ½ gt²
h = 30 m + (10 m/s)(3 s) – ½ (10 m/s²)(3 s)² = 15 m
maka perbandingan
h/x = (15 m)/30√3 m = √3 : 6